Untersuchung der Navier-Stokes Gleichungen

Bisher ist es der Mathematik nicht gelungen, eine Gesamtlösung für die Gleichungen von Navier-Stokes zu ermitteln. Kann dafür eine Ursache gefunden werden?

Um eine mögliche Ursache aufzeigen zu können, werden nachfolgend die Schubspannungen der Navier-Stokes untersucht. Dies geschieht durch Anwendung des Modells von Navier-Stokes in einem Gebiet mit vorgegebenem einfachen Strömungsfeld.

Grundlagen

Für die Beweisführung wird nachfolgende Bedingung verwendet:

Für mechanische Systeme gilt das 3. Newton'sche Gesetz; „actio = reactio“.

Dies bedeutet, daß die an einer Schnittebene zutage tretenden inneren Kräfte und Momente zweier Systeme betragsmäßig gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Die in der Schnittebene zutage tretenden inneren Kräfte und Momente werden für die Teilsysteme zu äußeren. Wird ein System in Teilsysteme aufgeteilt und das physikalische Modell auf diese angewendet, so muß die Addition der Teilsysteme die gleichen Kräfte und Momente wie bei Anwendung des Modells auf das Gesamtsystem ergeben.

Zunächst sollen die auftretenden Spannungen beschrieben werden. Dies geschieht anhand der Herleitung aus dem Buch „Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics“ [1] aus dem Kapitel 5 „Fundamental Equations of Fluid Mechanics“ im Unterkapitel 5.2 „Navier-Stokes Equations“.

Auftretende Spannungen an einem Volumenelement in einer Strömung werden in Abbildung 1 gezeigt.

Abbildung 1: Spannungsvektoren an den Systemgrenzen [1]

Die Normalspannungen lassen sich über die Beziehung [1]

umformen in:

, , [1].

Für Newton'sche Fluide ergeben sich folgende Gleichungen [1]:

Reibungsanteil der Normalspannungen:

1.0.0

1.0.1

1.0.2

Schubspannungen [1]:

1.1.0

1.1.1

1.1.2

mit den Symmetriebedingungen [1]:

, , 1.2.0

Beschreibungen des Strömungsfeldes

Der Einfachheit halber wird ein laminares und stationäres Strömungsfeld betrachtet, mit

mit 2.0.0

Das Strömungsfeld habe nur eine Geschwindigkeitskomponente in Richtung der x-Achse. Äußere Kräfte werden in diesem Beispiel nicht berücksichtigt.

Damit vereinfachen sich die Gleichungen 1.0.0 bis 1.0.2 zu:

2.1.0

2.1.1

2.1.2

Die Normalspannungen ergeben sich also überall zu -p. Da sie für die nachfolgenden Betrachtungen nicht von Bedeutung sind, werden sie zur Vereinfachung der Darstellung nicht mehr weiter berücksichtigt.

Die Gleichungen 1.1.0 bis 1.1.2 vereinfachen sich zu:

2.2.0

2.2.1

2.2.2

Die Schubspannungen existieren in diesem Beispiel also nur in der xz-Ebene.

Schubspannungen am Gesamtsystem

In Abbildung 2 werden die Schubspannungen am System nach Gleichungen 2.2.1 und 1.2.0 am System eingezeichnet. Die Schubkräfte sind nur vom Gradienten des Geschwindigkeitsvektors in z-Richtung abhängig.

Abbildung 2: Spannungen in einem einfachen Strömungsfeld

Trennung in Teilsysteme

Zur Untersuchung des physikalischen Modells wird das betrachtete System senkrecht zur Strömungsrichtung in zwei Teilsysteme „1“ und „2“ geteilt. Dabei haben die entstehenden Teilsysteme eine gemeinsame Grenze entlang der Schnittebene.

Abbildung 3: Aufteilung des Systemsfont>

Schubspannungen an den Teilsystemen

Für beide Teilsysteme werden die Schubspannungen jeweils ermittelt. Die oben stehenden Gleichungen und das Strömungsmodell sind auch auf die Teilsysteme anwendbar.

Aufgrund der Konfiguration des Strömungsfelds in 2.0.0 und mit den Gleichungen 2.2.1 und 1.2.0 lassen sich die Schubspannungen beschreiben als:

5.0.0

5.0.1

5.0.2

5.0.3

Abbildung 4: Schubspannungen der Teilsysteme

Superposition der Teilsysteme

Nachdem die Schubspannungen für die Teilsysteme ermittelt sind, werden die Teilsysteme zusammengeführt. Dies wird in der Abbildung 5 gezeigt. Dabei sind an der Schnittebene der beiden Teilsysteme folgende Spannungen zu berücksichtigen:

6.0.0

6.0.1

Abbildung 5: Superposition der Teilsysteme "1" und "2"

Die Resultierende dieser Spannungen ergibt sich zu:

6.1.0

Dies ist in Abbildung 6 dargestellt.

Abbildung 6: Resultierende innere Schubspannung

An der Schnittebene der Teilsysteme ergibt sich eine resultierende Differenzspannung dτ_xz. Dieses Phänomen tritt bei Teilung parallel zur x-Achse nicht auf.

Ergebnis

Die resultierende Schubspannung dτ_xz ist im Originalsystem nicht vorhanden.

Das bedeutet, daß das Strömungsmodell nach Navier-Stokes kann das 3. Newton'sche Gesetz „Actio = Reactio“ nicht einhalten. Die Summen der Spannungen der Teilsysteme sind nicht gleich den jeweiligen Spannungen des Gesamtsystems.

Aus mathematischer Sicht ist dies als Unstetigkeit der Schubspannungen an den Grenzflächen der Systeme zu interpretieren. Die Schubspannungen enthalten immer einen konstanten Anteil, welcher unabhängig von der Achse ihrer Normalen ist. Dies wird bedingt durch die Symmetriebedingung.

Wie oben gezeigt, verletzt das physikalische Modell von „Navier-Stokes“ das dritte Newton'sche Gesetz. Als Ursache kann die Symmetriebedingung der Schubspannungen festgestellt werden. Aufgrund dessen verhalten sich die Schubspannungskomponenten senkrecht zur Strömung unstetig. Dies begründet, daß keine vollständigen Lösungen für das Gleichungssystem gefunden werden können .

Formelzeichen

μ : Dynamische Zähigkeit [Ns/m²]

ρ : Dichte [kg/m³]

σ : Normalspannung [N/m²]

τ : Schubspannung [N/m²]

p : Druck [N/m²]

u : Geschwindigkeitskomponente x-Richtung [m/s]

v : Geschwindigkeitskomponente y-Richtung [m/s]

w : Geschwindigkeitskomponente z-Richtung [m/s]

: Geschwindigkeitsvektor

Doppelter Index:

1. bezeichnet Richtung der Flächennormale

2. bezeichnet Richtung des Vektors

Mathematischer Anhang

Aus den Spannungen ergibt sich in einem System:

Mit lassen sich die Normalspannungen schreiben als

, , .

Damit ergibt sich:

Quellenangaben

1. Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics SE /Springer